Matemática

Trigonometria: Elementos gerais sobre Trigonometria
 O papel da trigonometria
 Ponto móvel sobre uma curva
 Arcos da circunferência
 Medida de um arco
 O número pi
 Unidades de medida de arcos
 Arcos de uma volta
 Mudança de unidades


O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de um relógio) é adotado como sentido positivo.


Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é a origem do arco e M é a extremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.


Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).

A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário.

O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
= 3,1415926535897932384626433832795...
Mais informações sobre o número pi, podem ser obtidas na nossa página Áreas de regiões circulares.

Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.


Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 12
________________________________________8
Portanto m(AB)=1,5 radianos

Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, então:
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio = 2 r
________________________________________r = 2
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano /2 3 /2 2
0 graus = 0 grado = 0 radianos

Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,
R
________________________________________ = G
________________________________________180
Exemplos
1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
________________________________________ = 60
________________________________________180
2. Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
1
________________________________________ = G
________________________________________180
4. Asim 1 rad=180/ graus.
Você pode obter mais informações sobre o grau e o radiano, com notas históricas, ilustrações e curiosidades na nossa página sobre Geometria Plana: Ângulos
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Número PI
A partir da razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.

O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.

HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 , , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).

POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?
Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.

POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?
Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...
Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.
Considerando um arco , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco seja igual a R..
Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.

SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?
O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .
Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.
Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:
Rad. U
1 ____________ R
X ____________ 2p R
\ X= rad.
X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.
Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:
a º / 360º = b rad. / 2p rad.
( se forem medidas do mesmo arco)
Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.

FACILITANDO CÁLCULOS
O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p2 / 6. A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função é igual a . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p2.
Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.

Um número fascinante
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' também um dos poucos objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma conseqüência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
- Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )
- J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
- J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.

Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
• PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
• PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
• PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
• PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro
Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).

A descoberta do PI
Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Conseqüentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!
Esse exemplo, e outros que poderíamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais são problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.
Essa inquietação não é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmicas, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.
É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.

Por que é tão difícil calcular o PI?
A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia
• ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
• ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )
O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.


Trigonometria: Exercícios sobre elementos gerais

1. Um arco AB de uma circunferência tem comprimento L. Se o raio da circunferência mede 4 cm, qual a medida em radianos do arco AB, se:
(a) L=6cm (b) L=16cm (c) L=22cm (d) L=30cm
2. Em uma circunferência de raio R, calcule a medida de um arco em radianos, que tem o triplo do comprimento do raio.
3. Um atleta percorre 1/3 de uma pista circular, correndo sobre uma única raia. Qual é a medida do arco percorrido em graus? E em radianos?
4. Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio da circunferência até o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100 metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos atletas correria?
5. Qual é a medida (em graus) de três ângulos, sendo que a soma das medidas do primeiro com o segundo é 14 graus, a do segundo com o terceiro é 12 graus e a soma das medidas do primeiro com o terceiro é 8 graus.
6. Qual é a medida do ângulo que o ponteiro das horas de um relógio descreve em um minuto? Calcule o ângulo em graus e em radianos.


7. Os dois ponteiros de um relógio se sobrepoem à 0 horas. Em que momento os dois ponteiros coincidem pela primeira vez novamente?
8. Calcular o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 12h e 20minutos.
9. Em um polígono regular um ângulo externo mede pi/14 rad. Quantos lados tem esse polígono?
10. Escreva o ângulo a=12°28' em radianos.
11. Escreva o ângulo a=36°12'58" em radianos.
12. Dados os ângulos x=0,47623rad e y=0.25412rad, escreva-os em graus, minutos e segundos.
13. Em uma circunferência de raio r, calcular a medida do arco subtendido pelo ângulo A em cada caso:
a. A=0°17'48" r=6,2935cm
b. A=121°6'18" r=0,2163cm
14. Em uma circunferência de centro O e raio r, calcule a medida do ângulo AÔB subtendido pelo arco AB nos seguintes casos.
a. AB=0,16296 cm r=12,587cm.
b. AB=1,3672cm r=1,2978cm.
15. Em uma circunferência, dado o comprimento do arco AB e o ângulo AÔB subtendido a este arco, calcule a medida do raio.
a. AÔB=0°44'30" AB=0,032592cm
b. AÔB=60°21'6" AB=0,4572cm
***************************************************************************************************
Respostas
Solução do problema 1
A medida em radianos de um arco AB é dada por
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio
(a) m(AB) = ( 6cm)/( 4cm) = 1,5 rad
(b) m(AB) = (16cm)/(4cm) = 4 rad
(c) m(AB) = (22cm)/(4cm) = 5,5 rad
(d) m(AB) = (28cm)/(4cm) = 7 rad

Solução do problema 2
A medida em radianos de um arco AB é dada por
m(AB)= comprimento do arco(AB)
________________________________________comprimento do raio
Assim, como o comprimento do arco é o triplo do comprimento do raio
m(AB) = 3R/R = 3rad

Solução do problema 3
Uma volta inteira na
pista equivale a 360 graus, assim 1/3 de 360 graus é 120 graus.
Uma volta inteira na pista equivale a 2 radianos, então o atleta percorreu (2/3) .

Solução do problema 4
Para simplificar os resultados supomos pi=3,1415 e enumeramos as raias de dentro para fora como C1, C2, C3, C4 e C5.
A primeira raia C1 tem raio de medida 10 m, então:
m(C1)=2 100=200 =200 x 3,1415=628,3 metros
A raia C2 tem raio de medida 12 m, então:
m(C2)=2 102=204 =204 x 3,1415=640,87 metros
A raia C3 tem raio de medida 14 m, então:
m(C3)=2 104=208 =208 x 3,1415=653,43 metros
A raia C4 tem raio de medida 16 m, então:
m(C4)=2 106=212 =212 x 3,1415=665,99 metros


Solução do problema 5
Sejam a, b e c os três ângulos, assim
m(a)+m(b)=14 graus
m(b)+m(c)=12 graus
m(a)+m(c)= 8 graus
resolvendo o sistema de equações, obtemos:
m(a)=5 graus
m(b)=9 graus
m(c)=3 graus

Solução do problema 6
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 30 graus, que corresponde a 360/12 graus. Como 1 hora possui 60 minutos, então o ângulo percorido é igual a a=0,5 graus, que é obtido pela regra de três:
60 min ………………… 30 graus
1 min ………………… a graus
Convertemos agora a medida do ângulo para radianos, para obter a= /360 rad, através da regra de três:
180graus ………………… rad
0,5 graus ………………… a rad
Solução do problema 7
O ponteiro dos minutos percorre 360° enquanto o ponteiro das horas percorre 360°/12=30º. Até 1:00h os ponteiros não se encontraram, o que ocorrerá entre 1:00h e 2:00h.


Consideraremos a situação original à 1:00h, deste instante até o momento do encontro o ponteiro dos minutos deslocou aº e o ponteiro das horas deslocou (a-30)º, como está na figura, assim:
Ponteiro dos minutos ponteiro das horas
360º 30º
aº (a-30)º
Pela tabela, tem-se que: 360(a-30)=30.a, de onde segue que 330a=10800e assim podemos concluir que a=32,7272º
O ponteiro dos minutos deslocou 32,7272º após 1:00h, mas ainda precisamos verificar quantos minutos corresponde este ângulo.
5 min ………………… 30 graus
x min …………… 32,7272 graus
A regra de três fornece x=5,4545'=5'27,27''. Assim, os ponteiros coincidem novamente após às 12:00h à 1 hora,5 minutos e 27,27 segundos

Solução do problema 8
O ponteiro das horas percorre em cada hora um ângulo de 360/12 graus = 30 graus. Em vinte minutos ele percorre o ângulo a
60 min ………… 30 graus
20 min …………… a graus

A regra de três fornece a=10 graus, logo o ângulo formado entre os números 12 e 4 é de 120 graus, então o ângulo entre os ponteiros é 120-10=110 graus.




Solução do problema 9
Resposta: 28 lados

Solução do problema 10
Usando o fato de que 1 grau possui 60 minutos, temos
1 grau …………… 60 minutos
x graus …………… 28 minutos
A regra de três garante que x=28/60=0,4666 grause desse modo segue que 12° 28'=(12+28/60)°=12+0,4666=12,4666°
Representando por M a medida do ângulo em radianos, temos
180°…………… rad
12,4666°……………M rad
e da regra de três segue que: M=12,4666. /180=0,2211 rad

Solução do problema 11
Usando o fato de que 1 minuto possui 60 segundos, temos
1 min ……………60 segundos
x min ……………58 segundos
x=58/60=0,967 min, logo 36°12'58''=36°(12+0,967)'=36°12,967'
Como 1 grau corresponde a 60', então:
1 grau ……………60 minutos
x graus ……………12,967 minutos
x=12,967/60=0,2161° e 36°12'58''=(36+0,2161)°=36,2161°
A medida M do ângulo em radianos, é M=36,2161°. /180=0,6321 rad, que foi obtida como solução da regra de três:
180° …………… rad
36,2161° ……………M rad

Solução do problema 12
(a)Considere a seguinte regra de três,
180°………………… rad
x……………0,47623 rad
Assim: x=0,47623 . 180/ =27,2911°=27°17,466'=27°17'27''
(b) Analogamente obtemos:
y=0.25412×180/ =14,56°=14°33,6'=14°33'36''

Solução do problema 13
(a) Primeiro convertemos o ângulo para radianos para obter:
a=0°17'48''=0°(17+48/60)'=(0+17,8)'=(0+17,8/60)°=0,2967°
Com a regra de três:
180°…………… rad
0,2967°………… a rad
obtemos a=0,2967. /180=0,0051778 rad e como a medida do arco é dada pela medida do ângulo(rad) x medida do raio, temos que medida do arco=0,0051778×6,2935=0,03286cm
(b) Analogamente, a = 121° 6' 18'' =121,105°. Em radianos, a medida do ângulo se torna a=121,105 /180=2,1137rad
Assim, a medida do arco=2,1137×0,2163=0,4572cm.

Solução do problema 14
(a) A medida do ângulo AÔB é dada pelo comprimento de AB dividido pelo comprimento do raio, assim m(AÔB)=0,16296/12,587=0,012947 rad = 0° 44' 30''
(b) Analogamente:
m(AÔB)=1,3672/1,2978=1,0535rad=60,360°=60°21,6'=60°21'35''

Solução do problema 15
a. Primeiramente devemos exprimir o ângulo em radianos.
AÔB = 0° 44' 30''=0,7417° = 0,7417 x /180 = 0,01294 rad
A medida do raio é dada pelo comprimento de AB dividido por m(AÔB), logo:
comprimento do raio = 0,032592/0,01294 = 2,518 cm
b. Analogamente,
AÔB=60°21'6''=60,3517°=60,3517× /180=1,0533rad
comprimento do raio = 0,4572/1,0533=0,4340cm